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３年理系生徒が、数学Ⅲ微分積分を一通り学習したところで、もう一度微分積分のもとになっている考え方は何であるか、深く掘り下げて考え、その考え方を用いて、球の表面積を求めた。
１時間目、まずクイズが出された。「南に1km行って、東に1km行き、北に1km行くと、もとの位置にもどりました。そんなことってありえる？」「北極から出発する。」という答が生徒から出たが、地球上北極以外にまだそのような地点が（いくつも）あるとのこと。答は今日の最後に教えるので、皆さん考えておいてください、とのこと。
人間は曲がったものが苦手で、曲がったものをまっすぐにして考える性癖がある。曲がったものを理解する道具が微分積分学。細かく分けると曲がった部分がほぼまっすぐになる。これが微分の考え方である。さらにそれを足し合わせて値を求めることができる。これが積分の考え方である。微分積分学は人間の自然な素朴な考え方にもとづいている。
円を中心角2π/ｎのｎ個の扇形に分割する。それらを互いに組み合わせて並べる。分割を細かく(ｎ→∞)すると、それは底辺ｎπ、高さｒの長方形に近づく。
従って、求める面積はπｒ２となる。
Ｓ(ｒ)を半径ｒの円の面積、ｌ(ｒ)を半径ｒの円周の長さとし、ｌ(ｒ)ｈ≦Ｓ(ｒ＋ｈ)－Ｓ(ｒ)≦ｌ(ｒ＋ｈ)ｈをｈ＞0で割って、ｈ→＋0とすると、Ｓ'(ｒ)＝ｌ(ｒ)が得られる。
たとえば一辺がａの正方形の周の長さｌ(ａ)＝4ａ、面積Ｓ(ａ)＝ａ２ではＳ'(ａ)＝ｌ(ａ)とならないのはなぜだ？変数が一方は半径で一方は一辺で異なるのだから、結果がちがうのは当たり前だ。しかし、ここで上と同様のことを行うとｌ(ａ)ｈ/2≦Ｓ(ａ＋ｈ)－Ｓ(ａ)≦ｌ(ａ＋ｈ)ｈ/2をｈ＞0で割って、ｈ→＋0とすると、正しい関係2Ｓ'(ａ)＝ｌ(ａ)が得られる。
半径ｒの球の表面積Ｓ＝4πｒ２・・・①、
体積Ｖ＝4πｒ３/3・・・②
を導いてみよう。大きく２つの方法がある。解法Ⅰで②から①を導くときは、円の場合と同様に
Ｓ(ｒ)ｈ≦Ｖ(ｒ＋ｈ)－Ｖ(ｒ)≦Ｓ(ｒ＋ｈ)ｈからＶ'(ｒ)＝Ｓ(ｒ)を導く。
解法Ⅱでは、曲面積を求めるとき、細かく分けたあとどのようにまっすぐにするかに難しい部分がある。球の表面積を工夫して求めてみよう。ということで、生徒は考え始めたが、時間が足りず、先生からひとつの方法について説明があった。（球面の分割の仕方はいろいろある。）
経線で縦にｎ分割する。次は失敗の例である。失敗すること、なぜ失敗したかを考えることは大切である。
円の時のように互いに組み合わせて、分割を細かくすると、縦πｒ/2、横2πｒの長方形に近づくからＳ＝πｒ/2・2πｒ＝π２ｒ２と考えると間違った答となる。円のときとは異なり、互いに組み合わせたとき、重なる部分が出てしまうからだ。
次のように考える。北極から南に球面上を距離ｘ下った地点の中心角θとするとｘ＝ｒθであり、その地点で水平に地球を切った切り口の円の半径はｒsinθである。経線で縦にｎ分割した一片を考える。距離ｘの地点でのその一片の緯度線の長さは2πｒsin(ｘ/ｒ)/ｎであるから、縦分割の一片の面積は∫πr2πｒ/ｎ・sin(ｘ/ｒ)・ｄｘ＝4/ｎ・πｒ２（計算略）となる。それをｎ倍して球面の表面積4πｒ２が得られる。 他の方法も考えてみてください。（自由研究として投げかけられた。）
クイズの正答（のひとつ）は生徒から出た。先生がそれを補足した
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